Question

如圖是曲柄連桿機構的示意圖，當曲柄CB繞點C旋轉時，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復運動．當曲柄在CB₀位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A₀處，設連桿AB長為lmm，曲柄CB長為rmm，l＞r
（1）若l=300mm，r=80mm，當曲柄CB按順時針方向旋轉角為θ時，連桿的端點A此時離A₀的距離為A₀A=110mm，求cosθ的值；
（2）當曲柄CB按順時針方向旋轉角θ為任意角時，試用l，r和θ表示活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離A₀A）

Answer 1

分析：（1）由A₀A的長求出AC的長，再由AB，BC的長，利用余弦定理即可求出cosθ的值；
（2）設AC=x，若θ=0，則A₀A=0；若θ=π，則A₀A=2r，若0＜θ＜π時，在△ABC中，由余弦定理得到關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長，由A₀C-AC即可求出A₀A的長．

解答：解：（1）由已知當A₀A=110mm時，可得AC=300+80-110=270（mm），
又AB=l=300mm，BC=r=80mm，
∴cosθ=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

2702+802-3002

2×270×80

=

107

432

；
（2）設AC=xmm，若θ=0，則A₀A=0mm；若θ=π，則A₀A=2rmm，
若0＜θ＜π時，在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC，
即x²-2（rcosθ）x-（l²-r²）=0，
解得：x₁=rcosθ+

(rcosθ)2+l2-r2

=rcosθ+

l2-r2sin2θ

（mm），
x₂=rcosθ-

(rcosθ)2+l2-r2

＜0（不合題意，舍去），
∴A₀A=A₀C-AC=l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

（mm），
∴當θ為任意角時，有A₀A=l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

（mm）．

點評：此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．