Question

一條斜率為1的直線l與離心率為的雙曲線E:=1(a＞0，b＞0)交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R，且=-3，，求直線l與雙曲線E的方程．

Answer 1

解：由3=e²=1+()²，得b²=2a²，

雙曲線方程設為=1        ①

設直線l的方程為y=x+m，代入①，得：

2x²-(x+m)²=2a²，即：x²-2mx-(m²+2a²)=0

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則x₁+x₂=2m，x₁·x₂=-m²-2a²．

y₁y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²

=-m²-2a²+2m²+m²=2(m²-a²)．

∴-3==x₁x₂+y₁y₂=m²-4a²，

∴4a²-m²-3=0                          ②

∵∴點R分所成的比為3，點R的坐標為(0，m)，則：

m=+m

∴x₁=-3x₂，代入x₁+x₂=2m，得

x₁=3m，x₂=-m，

代入x₁·x₂=-m²-2a²，得-3m²=-m²-2a²，

∴m²=a²

代入②得a²=1，從而m=±1

∴直線l的方程為y=x±1，雙曲線的方程為x²-=1