Question

已知橢圓C1：

x2

4

+

y2

3

=1，拋物線C2：y2=4x，過橢圓C₁右頂點的直線l交拋物線C₂于A，B兩點，射線OA，OB分別與橢圓交于點D，E，點O為原點．
（Ⅰ）求證：點O在以DE為直徑的圓的內部；
（Ⅱ）記△ODE，△OAB的面積分別為S₁，S₂，問是否存在直線l使S₂=3S₁？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：x=my+2，代入y²=4x，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，y₁y₂，要證明點O在以DE為直徑的圓的內部；只要證明

OA

•

OB

＜0即可
（2）設D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則射線OA：y=

4

y1

x，代入

x2

4

+

y2

3

=1得y32=

64×3

3y12+64

，同理可得y42=

64×3

3y22+64

，代入檢驗即可驗證

解答：（1）證明：設直線l：x=my+2，代入y²=4x得y²-4my-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+2m(y1+y2)+4=-4＜0
∴∠AOB＞90°即∠DOE＞90°
∴點O在以DE為直徑的圓的內部
（2）設D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
則射線OA：y=

4

y1

x，代入

x2

4

+

y2

3

=1得y32=

64×3

3y12+64

，
同理y42=

64×3

3y22+64

∴(

s2

s1

)2=(

|y1y2|

|y3y4|

)2=

64

64×3 3y12+64 • 64×3 3y22+64

=

(3y12+64)(3y22+64)

64×9

=

73+3[(y1+y2)2-2y1y2]

9

=

73+3(16m2+16)

9

=

121+48m2

9

=9
∴m²=-

5

6

故不存在滿足條件的直線l

點評：本題主要考查了直線與拋物線的 相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合性試題