Question

（2013•溫州二模）拋物線y²=2px（p＞0）的準線交x軸于點C，焦點為F．A、B是拋物線上的兩點．己知A．B，C三點共線，且|AF|、|AB|、|BF|成等差數列，直線AB的斜率為k，則有（　　）

• A．k2=

  1

  4

• B．k2=

  3

  4

• C．k2=

  1

  2

• D．k2=

  3

  2

Answer 1

分析：根據拋物線方程求出點C（-

p

2

，0），可得直線AB方程為y=k（x-

p

2

），將其與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，由根與系數的關系得到x₁+x₂和x₁x₂關于p、k的式子，結合兩點間的距離公式算出|AB|=

1+k2

•

4-4k2

k2

p．再利用拋物線的定義，得到|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=

p(2-k2)

k2

+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差數列得出|AF|+|BF|=2|AB|，從而建立關于p、k的等式，化簡整理得

1+k2

•

1-k2

=

1

2

，即可解出k2=

3

2

，得到本題答案．

解答：解：∵拋物線y²=2px的準線方程為x=-

p

2

，
∴準線與x軸的交點C坐標為（-

p

2

，0）
因此，得到直線AB方程為y=k（x-

p

2

），與拋物線y²=2px消去y，
化簡整理，得k2x2+p(k2-2)x+

1

4

p2k2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數的關系得

x1+x2= p(2-k2) k2 x 1x2= 1 4 p2

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2 -4x 1x2

=

1+k2

•

p2(2-k2)2 k4 -p2

=

1+k2

•

4-4k2

k2

p
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差數列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根據拋物線的定義得|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
因此，得到x₁+x₂+p=2

1+k2

•

4-4k2

k2

p，即

p(2-k2)

k2

+p=2

1+k2

•

4-4k2

k2

p，
化簡得

2p

k2

=

4 1+k2 1-k2

k2

p，約去

2p

k2

得

1+k2

•

1-k2

=

1

2

∴（1+k²）（1-k²）=

1

4

，解之得k²=

3

2

故選：D

點評：本題給出拋物線準線交對稱軸于點C，過點C的直線交拋物線于A、B兩點，A、B與焦點F構成的三角形的三邊成等差數列，求直線AB的斜率．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質，直線與拋物線位置關系等知識點，屬于中檔題．