Question

過雙曲線x²-y²=1的右焦點9作直線l交雙曲線于A、B兩點，記雙曲線漸近線的方向向量為v，當在v方向上的投影的絕對值為時，求直線l的方程．

Answer 1

解：由已知，F(，0)，雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1，±1)，

當l斜率不存在時，不失一般性，取A(，-1)、B(，1)，則在v上的投影的絕對值為||cos45°=2，不合題意．

所以l的斜率k存在，其方程為y=k(x-)．

由得

(k²-1)x²-2k²x+2k²+1=0(k²≠1)

設A[x₁，k(x_l-)]、B[x₂，k(x₂-)]，

則x_l+x₂=,x₁x₂=．

當v=(1，1)時，設與v的夾角為θ，則

=[x₂-x₁，k(x₂-x₁)]在v上投影的絕對值

|||cosθ|=||

=

=

由=，得2k²-5k+2=0，k=2或k=

根據雙曲線的對稱性知，當

v=(1，-1)時，k=-2或k=-.

所以直線l的方程為y=±2 (x-)或y=±(x-).