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已知f(x)=(
x-1
x+1
)2（x＞1），
（1）若g(x)=
1
f-1(x)
+
x
+2，求g（x）的最小值；
（2）若不等式(1-
x
)•f-1(x)＞m•(m-
x
)對于一切x∈[
1
4
，
1
2
]恒成立，求實數m的取值范圍．
分析：（1）先由f（x）求出f-1（x），進而求得g（x），利用基本不等式即可求得g（x）的最小值；
（2）原不等式可化為(1+m)
x
+(1-m2)＞0，令u=
x
，則F（u）=（1+m）u+（1-m2）＞0在[
1
2
，
2
2
]上恒成立，根據一次函數的性質可得關于m的不等式組，解出即可；
解答：解：（1）f-1(x)=
1+
x
1-
x
（0＜x＜1），
∴g(x)=
1-
x
1+
x
+
x
+2=
2
1+
x
+1+
x
≥2
2
，等號當且僅當
2
1+
x
=1+
x
，即x=3-2
2
時取得．
∴g（x）的最小值為2
2
．
（2）不等式即為1+
x
＞m(m-
x
)，也就是(1+m)
x
+(1-m2)＞0，
令u=
x
，則F（u）=（1+m）u+（1-m2）＞0在[
1
2
，
2
2
]上恒成立，
∴F(
1
2
)＞0且F(
2
2
)＞0，解得-1＜m＜
3
2
．
點評：本題考查函數恒成立問題、反函數的求解及基本不等式求最值，考查轉化思想，綜合性較強，難度較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=x+
bx
-3， x∈[1，2]
（1） b=2時，求f（x）的值域；
（2） b≥2時，f（x）的最大值為M，最小值為m，且滿足：M-m≥4，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=sin(x+
π
2
)，g(x)=cos(x-
π
2
)，則下列結論中正確的是（　　）
A、函數y=f（x）•g（x）的最大值為1
B、函數y=f（x）•g（x）的對稱中心是(
kπ
2
+
π
4
，0)，k∈Z
C、當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，函數y=f（x）•g（x）單調遞增
D、將f（x）的圖象向右平移
π
2
單位后得g（x）的圖象

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
x+1，x∈[-1，0)
x2+1，x∈[0，1]
，則下列函數的圖象錯誤的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數學公式，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間數學公式上的值域為數學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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