Question

已知數列{an}中，a1=

1

2

，Sn為數列的前n項和，且S_n與

1

an

的一個等比中項為n(n∈N*），則

lim

n→∞

Sn=

1

．

Answer 1

分析：由題意可得Sn•

1

an

=  n2，利用遞推公式S_n=n²a_n=n²（S_n-S_n-1）（n≥2）可得

Sn

Sn-1

=

n2

n2-1

=

n

n-1

•

n

n+1

∵利用疊乘

Sn

S1

=

S2

S1

•

S3

S2

…

Sn

Sn-1

及S1=a1=

1

2

可求Sn=

n

n+1

，從而可求

解答：解：由題意可得Sn•

1

an

=  n2
∴S_n=n²a_n=n²（S_n-S_n-1）（n≥2）
∴

Sn

Sn-1

=

n2

n2-1

=

n

n-1

•

n

n+1

∵

Sn

S1

=

S2

S1

•

S3

S2

…

Sn

Sn-1

=(

2

1

×

3

2

×…

n

n-1

)×(

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

)=

2n

n+1

∵S1=a1=

1

2

∴Sn=

n

n+1

∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

n

n+1

=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的通項公式，利用疊乘求數列的通項公式，及數列極限的求解，解題的關鍵在疊乘法的應用．