Question

（09年東城區(qū)二模理）(14分)

已知函數(shù)＝（其中為常數(shù)，）．利用函數(shù)構(gòu)造一個數(shù)列，方法如下：

對于給定的定義域中的，令，，…，，…

在上述構(gòu)造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止.

　　（Ⅰ）當(dāng)且時，求數(shù)列的通項公式；

    （Ⅱ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列，求的取值范圍；

　  （Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得取定義域中的任一實數(shù)值作為，都可用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列　　？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，所以，．

兩邊取倒數(shù)，得，即．又,

所以數(shù)列{}是首項為，公差的等差數(shù)列．………………3分

故，所以，

　　　　　即數(shù)列的通項公式為,.    …………………4分

（Ⅱ）根據(jù)題意，只需當(dāng)時，方程有解，     ………………5分

即方程  有不等于的解．

       將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解． ………………7分

        由 △=，得 或.

即實數(shù)a的取值范圍是．       …………………10分

(Ⅲ)假設(shè)存在實數(shù)，使得取定義域中的任一實數(shù)值作為，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列，那么根據(jù)題意可知，=在中無解，

即當(dāng)時，方程無實數(shù)解．

由于不是方程的解，

所以對于任意，方程無實數(shù)解，

因此解得．

故即為所求的值．                 ……………14分