Question

（2012•安徽）如圖，點F₁（-c，0），F₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，經過F₁做x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F₂作直線PF₂垂線交直線x=

a2

c

于點Q．
（Ⅰ）如果點Q的坐標是（4，4），求此時橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，可求得P(-c，

b2

a

)，根據點Q的坐標是（4，4），PF₁⊥QF₂，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用PF₁⊥QF₂，求得Q(

a2

c

，2a )，從而可求kPQ=

2a- b2 a

a2+c c

=

c

a

，又y=

b2- b2 a2 x2

，求導函數，可得x=-c時，y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

=

c

a

，故可知直線PQ與橢圓C只有一個交點．

解答：（Ⅰ）解：將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得y1=

b2

a

∴P(-c，

b2

a

)
∵點Q的坐標是（4，4），PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

4-0

4-c

=-1
∵

a2

c

=4，c2=a2-b2
∴a=2，c=1，b=

3

∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：設Q(

a2

c

，y2)，∵PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

y2-0

a2 c -c

=-1
∴y₂=2a
∴Q(

a2

c

，2a )
∵P(-c，

b2

a

)，∴kPQ=

2a- b2 a

a2+c2 c

=

c

a

∵

x2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=

b2- b2 a2 x2

∴y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

∴當x=-c時，y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

=

c

a

∴直線PQ與橢圓C只有一個交點．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數知識的運用，綜合性強．