Question

設函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）函數單調增區間為，單調減區間為；（2）.

試題分析：(1)此類題目考查利用導數研究函數的單調性，解法是：求函數的導數，令導數大于零，解得單調增區間（注意函數的定義域），令導數小于零，解得單調減區間（注意定義域）；（2）先將不等式在恒成立問題轉化為在恒成立問題，然后可用兩種方法求出參數的范圍，法一是：令，通過導數求出該函數的最小值，由這個最小值大于或等于0即可解出的取值范圍（注意題中所給的）；法二是：先分離參數得，再令，只須求出該函數的最小值，從而，同時結合題中所給的范圍可得參數的取值范圍.
試題解析：（1）函數的定義域為                  1分
           2分
當時，，為增函數
當時，，為減函數
當時，，為增函數
所以，函數單調增區間為，單調減區間為          5分
（2）因為，
所以
即
法一：令            7分
所以
因為在時是增函數                 8分
所以                       9分
又因為，所以，                   10分
所以在為增函數
要使恒成立，只需           11分
所以                               12分
法二：因為，所以
              6
令                        7分
             8分
因為，所以               9分
因此時，，那么在上為增函數   10分
所以
所以                             12分．