Question

例3：已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，a，b，c分別為角A、B、C的對應(yīng)邊，求證1＜

a+c

b

≤2（可能用到的公式：cosα+cosβ=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

，sinα+sinβ=2sin

α+β

2

cos

α-β

2

Answer 1

分析：先通過A、B、C成等差數(shù)列求出B=60°，再通過正弦定理用角表示出

a+c

b

，化簡得

a+c

b

=2cos（

A-C

2

），，進(jìn)而求出A，C的取值范圍，求出

A-C

2

的范圍．根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)果．

解答：證明：根據(jù)正弦定理a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，
∴

a+c

b

=

sinA+sinC

sinC

=

2sin( A+C 2 )cos( A-C 2 )

2sin B 2 cos B 2

=

2cos( B 2 )cos( A-C 2 )

2sin B 2 cos B 2

=

cos( A-C 2 )

sin B 2

∵A、B、C成等差數(shù)列
∴A+C=2B
∴A+C+B=3B=180°
∴B=60°
∴

a+c

b

=

cos( A-C 2 )

sin 60° 2

=

cos( A-C 2 )

1 2

=2cos（

A-C

2

）
∵A+C+B=180°
∴A=180°-60°-C=120°-C，，C=180°-60°-A=120°-A
∴0＜A＜120°，0＜C＜120°
∴-60°＜

A-C

2

＜60°
∴

1

2

＜cos（

A-C

2

）≤1
∴1＜

a+c

b

=2cos（

A-C

2

）≤2
即1＜

a+c

b

≤2

點評：本題主要考查正弦定理的運用．證明本題的關(guān)鍵是通過正弦定理完成邊、角問題的轉(zhuǎn)化．