Question

已知定點A（-2，0），B（2，0），曲線E上任一點P滿足|PA|-|PB|=2．
（1）求曲線E的方程；
（2）延長PB與曲線E交于另一點Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直線l的方程為x=a（a≤

1

2

），延長PB與曲線E交于另一點Q，如果存在某一位置，使得PQ的中點R在l上的射影C滿足PC⊥QC，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知P點軌跡為雙曲線，由a，c求出b的值，則方程可求；
（2）當直線斜率存在時，設出直線方程，和雙曲線方程聯立后求得判別式大于0，再由兩根之和大于0，且兩根之積大于0聯立求得k的范圍由弦長公式寫出弦長，借助于k的范圍求弦長的范圍，當斜率不存在時直接求解；
（3）由題意可知P、C、Q構成直角三角形，求出R到直線l的距離|RC|=

|PQ|

2

=xR-a，由點P、Q都在雙曲線x2-

y2

3

=1上，借助于雙曲線的第二定義得到

|PB|

xp- 1 2

=

|QB|

xQ- 1 2

=2，利用合比定理得到xR=

|PQ|+2

4

，與
R到直線l的距離聯立可得答案．

解答：（1）解：∵|PA|-|PB|=2，
∴點P的軌跡是以A、B為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右支，
則a=1，c=2，∴b²=c²-a²=3．
其方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)；
（2）若直線PQ的斜率存在，設斜率為k，則直線PQ的方程為y=k（x-2）代入雙曲線方程，
得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
由△＞0，

x1+x2=- 4k2 3-k2 ＞0 x1x2=- 4k2+3 3-k2 ＞0

，解得k²＞3，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

6(k2+1)

k2-3

=6+

24

k2-3

＞6
當直線斜率不存在時，x₁=x₂=2，得y₁=3，y₂=-3，|PQ|=6，|PQ|的最小值為6    
（3）當PC⊥CQ時，P、C、Q構成直角三角形
∴R到直線l的距離|RC|=

|PQ|

2

=xR-a①
又∵點P、Q都在雙曲線x2-

y2

3

=1上，
∴

|PB|

xp- 1 2

=

|QB|

xQ- 1 2

=2，
∴

|PB|+|QB|

xp+xQ-1

=2，即|PQ|=4x_R-2，∴xR=

|PQ|+2

4

②
將②代入①得

|PQ|

2

=

|PQ|+2

4

-a，|PQ|=2-4a≥6，
故有a≤-1．

點評：本題考查了雙曲線的方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了弦長公式的用法，雙曲線的第二定義是解答（3）的關鍵，考查了學生綜合處理問題的能力和計算能力，是較難的題目．