Question

（2012•海淀區一模）已知函數f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

則
（ⅰ）f（f（x））=

1

；
（ⅱ）給出下列三個命題：
①函數f（x）是偶函數；
②存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以點（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）為頂點的三角形是等腰直角三角形；
③存在x_i∈R（i=1，2，3，4），使得以點（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為頂點的四邊形為菱形．
其中，所有真命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：（ⅰ）對x分類：x∈Q和x∈

C

Q R

，再由解析式求出f（f（x））的值；
（ⅱ）①對x分類：x∈Q和x∈

C

Q R

，分別判斷出f（-x）=f（x），再由偶函數的定義判斷出①正確；
②由解析式做出大致圖象：根據圖象和等腰直角三角形的性質，進行判斷即可；
③取兩個自變量是有理數，使得另外兩個無理數差與兩個有理數的差相等，即可得出此四邊形為平行四邊形．

解答：解：（ⅰ）由題意知，f(x)=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，
當x∈Q時，f（x）=1∈Q，則f（f（x））=1，
當x∈

C

Q R

時，f（x）=0∈Q，則f（f（x））=1，
綜上得，f（f（x））=1；
（ⅱ）①當x∈Q時，則-x∈Q，故f（-x）=1=f（x），
當x∈

C

Q R

時，則-x∈

C

Q R

，故f（-x）=0=f（x），
∴函數f（x）是偶函數，①正確；
②根據f(x)=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，做出函數的大致圖象：
假設存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1，不妨假設A，B在x軸上，如圖
故斜邊AB=2，故點A、B的坐標不可能是無理數，否則O點不再是中點，故不存在
另外，當AB在y=1上，C在x軸時，由于AB=2，則C的坐標應是有理數，
故假設不成立，即不存在符合題意的等腰直角三角形，②錯誤；
③根據②做出的圖形知，
取兩個自變量是有理數，使得另外兩個無理數差與兩個有理數的差相等，即可畫出平行四邊形，且是對角線相互垂直，
可以做出以點（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為頂點的四邊形為菱形，③正確．
故答案為：1，①③．

點評：本題考查了分段函數的求值，奇偶性的判斷，以及數形結合思想和分類討論的應用，難度較大．