Question

已知曲線C參數方程為

x=2cosθ y=sinθ

，θ∈[0，2π)，極點O與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．圓T的極坐標方程為ρ²+4ρcosθ+4=r²，曲線C與圓T交于點M與點N．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程與圓T直角坐標方程；
（Ⅱ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的同角公式消去參數θ即得曲線C的普通方程；利用直角坐標與極坐標間的關系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓T的普通方程．
（II）根據點M與點N關于x軸對稱，利用直角坐標方程或參數方程，設出N的坐標，再利用點M在橢圓C上，利用數量積的坐標表達式得出

TM

•

TN

的表達式，最后利用二次函數的性質求其最小值及求此時圓T的方程．

解答：解：（I）橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）--------（5分）
（II）方法一：點M與點N關于x軸對稱，設N（x₁，-y₁），不妨設y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以y12=1-

x12

4

．（*）
由已知T（-2，0），則

TM

=(x1+2， y1)，

TN

=(x1+2， -y1)，∴

TM

•

TN

=(x1+2， y1)•(x1+2， -y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-

x12

4

)=

5

4

x12+4x1+3=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故當x1=-

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
由（*）式，y1=

3

5

，故M(-

8

5

，

3

5

)，又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

．--------（13分）
方法二：點M與點N關于x軸對稱，故設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設sinθ＞0，由已知T（-2，0），則

TM

•

TN

=(2cosθ+2， sinθ)•(2cosθ+2， -sinθ)=（2cosθ+2）²-sin²θ=5cos²θ+8cosθ+3=5(cosθ+

4

5

)2-

1

5

．
故當cosθ=-

4

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

，此時M(-

8

5

，

3

5

)，
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．故圓：(x+2)2+y2=

13

25

．

點評：本題考查了極坐標、直角坐標方程、及參數方程的互化，數量積的坐標表達式，屬于基礎題．