Question

如圖1，在直角梯形中，，，，

. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．

(I)求證：平面平面；

(II)求直線與平面所成角的正弦值；

(III)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

(I) 詳見解析； (II) ； (III) 存在點M滿足條件．

【解析】

試題分析：(I)借助三角形中位線得到線線平行，進而得到面面平行；(II)建立空間直角坐標系，應用空間向量知識求線面角；(III) 記點為，證明即可．

試題解析：

（I）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上

所以平面，所以                         1分

因為在直角梯形中，，，

，

所以，，所以是等邊三角形，

所以是中點，                                         2分

所以                                              3分

同理可證

又

所以平面                                  5分

（II）在平面內過作的垂線

如圖建立空間直角坐標系，

則，，                      6分

因為，

設平面的法向量為

因為，

所以有，即，

令則  所以                               8分

                                 10分

所以直線與平面所成角的正弦值為                        11分

(III)存在，事實上記點為即可                                        12分

因為在直角三角形中，，                  13分    

在直角三角形中，點

所以點到四個點的距離相等                                     14分

考點：1、面面平行的判定定理；2、直線與平面所成的角；3、立體幾何中的探索性問題．