Question

求過拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上一點P（x₀，y₀）處的切線方程，并由此證實拋物線的光學性質．

Answer 1

分析：為求斜率，先求導函數，得到切線方程，根據拋物線焦點：F（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），它關于切線的對稱點之橫坐標為x₀，
說明從焦點發出的光線射到（x₀，y₀）經拋物面反射后反射光線平行于對稱軸，反之亦然，與對稱軸平行的光線被拋物面反射后必聚匯于焦點．

解答：解：顯然，y₀=ax₀²+bx₀+c
y′=2ax+b故在P點處切線斜率為2ax₀+b，
切線方程y-（ax₀²+bx₀+c）=（2ax₀+b）（x-x₀），
亦即y=（2ax₀+b）x-ax₀²+c．
由于y=ax²+bx+c按向量=(

b

2a

，-

4ac-b2

4a

)平移即得到y=ax²，
只須證明過其上一點（x₀，ax₀²）的切線l：y=2ax₀x-ax₀²
滿足：焦點關于l的對稱點為（m，n）．
當x₀≠0時

n- 1 4a m =- 1 2ax0 n+ 1 4a 2 =2ax0• m 2 -a x 2 0

，消去n．知m=x₀．
當x₀=0時，切線為y=0，F之對稱點橫坐標顯然是0，
故從焦點發出的光線射到（x₀，ax₀²）后被拋物面反射后的方程為x=x₀（與對稱軸平行）；
反之，與對稱軸平行的光線被拋物面反射后必聚匯于焦點

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，要求過曲線上一點處的切線方程，一般先求出該點的導數值（斜率），再用點斜式寫出后化簡，同時我們還可以據此寫出該點處的法線方程，考查轉化思想，屬于基礎題．