Question

 本題滿分12分）

設f(x) 是定義在R上的減函數，滿足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,數列{a_n}

滿足a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)；

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設S_n是數列{a_n}的前n項和, 試比較S_n與6n²-2的大小。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 _(Ⅰ)由題設知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化為

,∵y=f(x)是定義在R上的單調減函數，

∴即

∴數列是以為首項，1為公差的等差數列。∴log₃即a_n=.--------------------------------------------------6分     

_{(Ⅱ)Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1)}

_{當n=1時有Sn=6n2-2=4; 當n=2時有Sn=16<6n2-2=22; 當n=3時有Sn=6n2-2=52;}

_{當n=4時有Sn=160>6n2-2=94; 當n=5時有Sn=484>6n2-2=148.}

_{由此猜想當n≥4時, 有Sn>6n2-23n-1>n2.下面用數學歸納法證明：}

_{①當n=1時顯然成立；}

_{②假設當n=k(k≥4,k∈N*)時, 有3k-1>k2; 當n=k+1時，有3k=3·3k-1>3k2,}

_{∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2, ∴3k>3k2>(k+1)2, ∴3k>(k+1)2,因此當n=k+1時原式成立.}

_{由①②可知當n≥4時有3n-1>n2即Sn>6n2-2.}

_{綜上可知當n=1,3時,有Sn=6n2-2；當n=2時,有Sn<6n2-2；當n≥4時,有Sn>6n2-2。………………12分}