Question

已知C₁的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=1，M，N分別為C₁在直角坐標系中與x軸，y軸的交點．曲線C₂的參數方程為

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

（t為參數，且t＞0），P為M，N的中點．
（1）將C₁，C₂化為普通方程；
（2）求直線OP（O為坐標原點）被曲線C₂所截得弦長．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數的差角公式展開曲線C₁的極坐標方程的左式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得其普通方程，對于曲線C₂的參數方程，消去參數t即得普通方程；
（2）先在直角坐標系中通過解方程組算出交點的坐標，再利用直角坐標系兩點間的距離公式計算即可．

解答：解：（1）C₁的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=1，即

2

2

ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴C₁化為普通方程是：C1：x+y-

2

=0；
曲線C₂的參數方程為

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

消去參數t 得：C₂普通方程：y=-x²+2，（4分）．
（2）因為M(

2

，0)，N(0，

2

)∴P(

2

2

，

2

2

)所以直線OP：y=x．（6分）
設直線OP：y=x與C₂：y=-x²+2交于A，B兩點
直線OP：y=x與C₂：y=-x²+2聯立得：x²+x-2=0，（8分）
∴A（1，1），B（-2，-2），所以|AB|=3

2

．（10分）

點評：本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程、參數方程化成普通方程、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、轉化思想．屬于基礎題．