Question

（本小題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側面底面. 若.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）側棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點 的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）因為 ，所以.
又因為側面底面，且側面底面，
所以底面.
而底面，
所以.
在底面中，因為，，
所以 ，所以.
又因為， 所以平面. ……………………………4分
（Ⅱ）在上存在中點，使得平面，
證明如下：設的中點是，
連結，，，

則，且.
由已知，
所以. 又，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為平面，平面，
所以平面.      ……………8分
（Ⅲ）設為中點，連結，

則 .
又因為平面平面，
所以 平面.
過作于，
連結，由三垂線定理可知.
所以是二面角的平面角.
設，則, .
在中，，所以.
所以 ，.
即二面角的余弦值為.        ………………………………13分
解法二：
因為 ，
所以.
又因為側面底面，
且側面底面，
所以 底面.
又因為，
所以，，兩兩垂直
分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖.

設，則，，，，. 
（Ⅰ），，,
所以 ，，所以，.
又因為， 所以平面.  …………………………4分
（Ⅱ）設側棱的中點是， 則，.
設平面的一個法向量是，則  
因為，，
所以   取，則.
所以，所以.
因為平面，所以平面.   …………………………8分
（Ⅲ）由已知，平面，所以為平面的一個法向量.
由（Ⅱ）知，為平面的一個法向量.
設二面角的大小為，由圖可知，為銳角，
所以.
即二面角的余弦值為.       ………………………………13分

略