Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數{b_n}的前n項和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，試比較

Tn+1+12

4Tn

與

2log2bn+1+2

2log2bn-1

的大小，并加以證明．

Answer 1

（Ⅰ）因為a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1
所以數列{a_n}是公比為2的等比數列（2分）
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b₁=4，

bn+1

bn

=4
即數列{b_n}是首項為4，公比是4的等比數列
所以T_n=

4

3

（4ⁿ-1）（6分）
則

Tn+1+12

4Tn

=

4n+1+8

4(4n-1)

=1+

3

4n-1

又

2log2bn+1 +2

2log2bn-1

=

4n+6

4n-1

=1+

7

4n-1

Tn+1+12

4Tn

-

2log2bn+1+2

2log2bn-1

=

3

4n-1

-

7

4n-1

=

4(3n+1-7•4n-1)

(4n-1)(4n-1)

猜想：7•4^n-1＞3n+1（8分）
①當n=1時，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式顯然成立；
②假設當n=k時，不等式7•4^k-1＞3k+1成立（9分）
當n=k+1時，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
綜上①②對任意的n∈N⁺均有7•4^n-1＞3n+1（11分）
又4ⁿ-1＞0，4n-1＞0
∴

Tn+1+12

4Tn

-

2log2bn+1 +2

2log2bn-1

＜0
所以對任意的n∈N⁺均有

Tn+1+12

4Tn

＜

2log2bn+1+2

2log2bn-1

（12分）