Question

（本小題滿分14分）已知是定義在[-1，1]上的奇函數，當，且時有.

（1）判斷函數的單調性，并給予證明；

（2）若對所有恒成立，求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）令－1≤x₁<x₂≤1，且a= x₁，b=－x₂

則 ∵x₁－ x₂<0，f(x)是奇函數 

∴f(x₁)－f(x₂)<0即f(x₁)<f(x₂)

∵x₁<x₂  ∴f(x)是[-1，1]上的增函數。

（2）。

【解析】

試題分析：(1)

……………6

(2)解：∵f(x)是增函數，且f (x)≤m²－2bm+1對所有x∈[－1,1]恒成立

∴[f(x)]_max≤m²－2bm+1   [f(x)]_max=f(1)=1

∴m²－2bm+1≥1即m²－2bm≥0在b∈[－1,1]恒成立

∴y= －2mb+m²在b∈[－1,1]恒大于等于0               ……………9

∴，∴

∴m的取值范圍是           …14

考點：函數的奇偶性；函數的單調性；有關恒成立問題。

點評：對于恒成立問題常用分離參數法進行解決：若恒成立，只需；若恒成立，只需。