Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）存在，

試題分析：（1）要 證明//平面，只需在平面內找一條直線與平行，連接交于點，則是的中位線，所以∥，則//平面；（2）（方法一：）先假設滿足條件的點存在，由已知的垂直關系，找到二面角的平面角，然后在中計算，并判斷是否小于1；（方法二:）找三條兩兩垂直相交的直線，建立空間直角坐標系，設點的坐標，并分別表示相關點的坐標，分別求兩個 半平面的法向量和，再利用空間向量的夾角公式列式，確定點的位置，并判斷其是否在線段上.

試題解析：(1)連接,設和交于點，連接，因為∥∥，==，所以四邊形是平行四邊形，是中點，又因為是中點，所以∥，又平面，平面，所以//平面；
(2)假設在線段上存在點，使二面角的大小為.
(解法一)延長交于點，過點作于，連接，因為四邊形是矩形，平面⊥平面，所以⊥平面，又面，所以，則面，，則就是二面角的平面角，則=，中，，，則，所以=，又在中，，故在線段上存在點，使二面角的大小為，此時的長為.
（解法二）由于四邊形是菱形，是的中點，，所以是等邊三角形，則,有因為四邊形是矩形，平面⊥平面，所以面，如圖建立空間直角坐標系，， ，設平面的法向量為，則且，得，令，所以，又平面的法向量，，，解得，
故在線段上存在點，使二面角的大小為，此時的長為.