Question

(本小題滿分14分)

如圖：四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.

（Ⅰ）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；

（Ⅱ）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;

（Ⅲ）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°                  

 

Answer 1

【答案】

（I）當點E為BC的中點時，

EF與平面PAC平行.

∵在△PBC中，

E、F分別為BC、PB的中點，

∴EF//PC 又EF平面PAC，

而PC平面PAC ∴EF//平面PAC.…4分

（II）證明：見解析；

（Ⅲ）BE=x=－，或BE=x=+（舍）.

【解析】(I)當E為BC的中點時，EF//PC,進而可得EF//平面ABCD.

(II) 無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF,這句話的實質是證明AF⊥平面PBE.

(III) 關鍵是找出PA與平面PDE所成的角，具體做法：過A作AG⊥DE于G，連PG，又∵DE⊥PA，則DE⊥平面PAG，于是，平面PAG⊥平面PDE，它們的交線是PG，過A作AM⊥PG，垂足為M，則AM⊥平面PDE，則∠APG就是PA與平面PDE所成的角.也可利用向量法求解.                                                        

解法1：（I）當點E為BC的中點時，

EF與平面PAC平行.∵在△PBC中，

E、F分別為BC、PB的中點，

∴EF//PC 又EF平面PAC，

而PC平面PAC ∴EF//平面PAC.…4分

   （II）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，

∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，

又AF平面PAB，∴AF⊥BE. www.7caiedu.cn      

又PA=AB=1，點F是PB的中點，∴AF⊥PB，……………………4分

        又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，∴AF⊥平面PBE.

∵PE平面PBE，∴AF⊥PE.……………………8分

   （Ⅲ）過A作AG⊥DE于G，連PG，又∵DE⊥PA，則DE⊥平面PAG，

于是，平面PAG⊥平面PDE，它們的交線是PG，過A作AM⊥PG，垂足為M，則AM⊥平面PDE，即PA在平面PDE的射影是PM，所以PA與平面PDE所成的角是∠APG=45°.

∴在RtPAG中，PA=AG=1，∴DG=，………………10分

設BE=x，∵△AGE≌△ABE，則GE=x，CE=－x，

在Rt△DCE中，(+x)²=(－x)²+1²，得BE=x=－.……12分

解法二： （II）建立圖示空間直角坐標系，

則P（0，0，1），B（0，1，0），

  設

∴AF⊥PE …8分

（Ⅲ）設平面PDE的法向量為

而=（0，0，1）依題意PA與平面PDE所成角為45°，

所以sin45°=，

，

得BE=x=－，或BE=x=+（舍）.……………………12分