Question

已知動點P到點F（2，0）的距離與它到直線x=1的距離之比為

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設點P的軌跡為曲線C，過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交曲線C于A、B兩點，l₂交曲線C于M、N兩點．求證：

1

FA • FB

+

1

FM • FN

為定值．

Answer 1

分析：（1）設出動點P的坐標，直接利用條件寫方程，化簡．
（2）當當直線l₁，l₂之一與x軸垂直時，易求此定值，當直線l₁，l₂都不與x軸垂直時，設出直線l₁的方程，得到l₂的方程，將l₁的方程于雙曲線的方程聯立，利用根與系數的關系計算

FA

與

FB

，進而計算

FA

•

FB

的值，同理計算

FM

•

FN

的值，即得結果．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），由題意得：

(x-2)2+y2

=

2

|x-1|．
所以點P的軌跡方程為x²-y²=2．（4分）
（Ⅱ）當直線l₁，l₂之一與x軸垂直，不妨設l₁與x軸垂直，此時A(2，

2

)，B(2，-

2

)，M(-

2

，0)，N(

2

，0)，

FA

•

FB

=(0，

2

)•(0，-

2

)=-2，

FM

•

FN

=(-

2

-2，0)•(

2

-2，0)=2，
所以

1

FA • FB

+

1

FM • FN

=0．（6分）
當直線l₁，l₂都不與x軸垂直時，
由題意設直線l₁為y=k（x-2）k≠0，
則l₂的方程y=-

1

k

(x-2)，
由

y=k(x-2) x2-y2=2

得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．（7分）
因為l₁交雙曲線C于A、B兩點，
所以

1-k2≠0 △=16k4+4(1-k2)(4k2+2)＞0

解得k≠±1．（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
因為

FA

=（x₁-2，y₁），

FB

=（x₂-2，y₂），
所以

FA

•

FB

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=(1+k2)(

4k2+2

k2-1

-

8k2

k2-1

+4)=

-2(k2+1)

k2-1

（11分）
同理

FM

•

FN

=

-2(1+k2)

1-k2

，（12分）
所以

1

FA • FB

+

1

FM • FN

=-

1

2

(

k2-1

1+k2

+

1-k2

1+k2

)=0，
即

1

FA • FB

+

1

FM • FN

為定值0．（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合應用．