Question

如圖，圓C與y軸相切于點T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側），且|MN|=3。
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點M任作一條直線與圓O：x²+y²=4相交于兩點A，B，連接AN，BN，求證：∠ANM=∠BNM。

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓C的半徑為a（a>0），則由題意得圓 心坐標為（a，2），
因為|MN|=3，所以，
故圓C的方程為；
（Ⅱ）證明：把y=0代入方程，解得x=1，或x=4，
即點M（1，0），N（4，0）.，
（i）當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-1），
由，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
因為點M在圓O內，所以上述方程有兩實根，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
從而
因為
，
而（x₁-1）（x₂-4）+（x₂-1）（x₁-4）
=2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8

，
所以，即k_AN+k_BN=0，故∠ANM=∠BNM，
（ii）當直線AB⊥x軸時，∠ANM=∠BNM成立，
所以∠ANM=∠BNM。