Question

（2012•茂名二模）在平面直角坐標系xoy中，動點P在橢圓C₁：

x2

2

+y²=1上，動點Q是動圓C₂：x²+y²=r²（1＜r＜2）上一點．
（1）求證：動點P到橢圓C₁的右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率；
（2）設橢圓C1上的三點A（x₁，y₁），B（1，

2

2

），C（x₂，y₂）與點F（1，0）的距離成等差數列，線段AC的垂直平分線是否經過一個定點為？請說明理由．
（3）若直線PQ與橢圓C₁和動圓C₂均只有一個公共點，求P、Q兩點的距離|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設動點P（x₀，y₀），則

x02

2

+y02=1，根據兩點間距離公式、點到直線的距離公式即可計算得到右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率；
（2）由（1）結論可用離心率及點A、B、C橫坐標表示|AF|、|BF|、|CF|，由其成等差數列可得x₁+x₂=2，由A，C在橢圓上得

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，兩式相減整理得直線AC斜率，設線段AC的中點（m，n），由點斜式可得AC垂直平分線方程，由中點坐標公式可把該垂直平分線方程化為知含參數n的方程，據此可得定點．
（3）易知直線PQ的斜率存在，設直線方程為y=kx+m，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

y1=kx1+m x12 2 +y12=1

得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，由直線與橢圓相切得△=0，x₁=-

2k

m

①，由直線PQ與圓C₂相切，則

|m|

1+k2

=r②，聯立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|²表示為r的函數，再用基本不等式可得其最大值；

解答：（1）證明：設動點P（x₀，y₀），則

x02

2

+y02=1，
右焦點的距離與到直線x=2的距離之比為：

(x0-1)2+y02

|x0-2|

=

(x0-1)2+y02 (x0-2)2

=

(x0-1)2+1- x02 2 (x0-2)2

=

2

2

，
而a=

2

，c=1，所以離心率e=

2

2

，
故動點P到橢圓C₁的右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率；
（2）由（1）可得|AF|=

2

2

(2-x1)，|BF|=

2

2

(2-1)，|CF|=

2

2

(2-x2)，
因為2|BF|=|AF|+|CF|，
所以

2

2

(2-x1)+

2

2

(2-x2)=2×

2

2

(2-1)，即得x₁+x₂=2，
因為A，C在橢圓上，故有

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，兩式相減整理得：
kAC=

y2-y1

x2-x1

=-

x2+x1

2(y2+y1)

=-

1

y2+y1

，
設線段AC的中點（m，n），而m=

x1+x2

2

=1，n=

y1+y2

2

，
所以與直線AC垂直的直線斜率為k^′_AC=y₂+y₁=2n，
則AC垂直平分線方程為y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）經過定點（

1

2

，0）；
（3）依題意知，直線PQ的斜率顯然存在，設直線方程為y=kx+m，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于直線方程PQ與橢圓C₁相切，點P為切點，從而有
由

y1=kx1+m x12 2 +y12=1

得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，
故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0，從而可得m²=1+2k²，x₁=-

2k

m

①，
直線PQ與圓C₂相切，則

|m|

1+k2

=r，得m²=r²（1+k²）②，
由①②得k2=

r2-1

2-r2

，且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r²=x12+（1-

x12

2

）-r²
=1+

x12

2

-r²=1+

2k2

1+2k2

-r²=3-r²-

2

r2

≤3-2

2

=(

2

-1)2，即|PQ|≤

2

-1，
當且僅當r2=

2

∈(1，4)時取等號，
故P、Q兩點的距離|PQ|的最大值為

2

-1．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，本題綜合性強，難度大．