Question

已知函數f(x)=cos2(x+

π

3

)-

1

2

，g(x)=

1

2

sin(2x+

2π

3

)
（1）要得到y=f（x）的圖象，只需把y=g（x）的圖象經過怎樣的變換？
（2）設h（x）=f（x）-g（x），求①函數h（x）的最大值及對應的x的值；②函數h（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：先對函數的解析式用余弦的二倍角公式化簡，可變為f(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)
（1）觀察兩個函數的解析式，易得將y=g（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到y=f（x）的圖象；
（2）先求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，化簡得h（x）=

2?

2

cos(2x+

11π

12

)
①由余弦函數的性質求出函數h（x）的最大值及對應的x的值
②由余弦函數的性質令2kπ-π≤2x+

11π

12

≤2kπ，解出x的取值范圍即可得到函數的增區間．

解答：解：f(x)=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1

2

=

1

2

cos(2x+

2π

3

)
（1）∵f(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)=

1

2

sin[2(x+

π

4

)+

2π

3

]
∴將y=g（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到y=f（x）的圖象．
（2）h(x)=f(x)-g(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)-

1

2

sin(2x+

2π

3

)
=

2?

2

cos(2x+

2π

3

+

π

4

)=

2?

2

cos(2x+

11π

12

)
①∴h(x)max=

2

2

．當2x+

11π

12

=2kπ即x=kπ-

11π

24

(k∈Z)時取最大值．
②由2kπ-π≤2x+

11π

12

≤2kπ，∴kπ-

23π

24

≤x≤kπ-

11π

24

，
所以遞增區間為[kπ-

23π

24

，kπ-

11π

24

]．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，解答本題關鍵是掌握三角恒等變換公式對三角函數的解析式進行化簡，然后再由余弦函數的性質求打三角函數的最值及求三角函數的單調區間．