Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：x=2，l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t為常數）；若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l₁，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象可知函數圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16，分別代入即可解得a、b、c的值
（Ⅱ）先求出直線l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t為常數）與拋物線f（x）=-x²+8x的交點橫坐標（用t表示），再利用定積分的幾何意義求兩部分面積之和即可
（Ⅲ）先令H（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數H（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點，再利用導數研究函數H（x）的單調性和極值，數形結合得滿足題意的不等式組，解之可得m的值

解答：解：（I）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16
則

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

解之得：

a=-1 b=8 c=0

，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x
（Ⅱ）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（t，-t²+8t）
由定積分的幾何意義知：S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx=[(-t2+8t)x-(-

x3

3

+4x2)] |_t+[(-

x3

3

+4x2)-(-t2+8t)•x] 

|

2 t

=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

（Ⅲ）令H（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數H（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點
∴H′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)
∴x=1或x=3時，H′（x）=0
當x∈（0，1）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數；
當x∈（1，3）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數
當x∈（3，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數
∴H（x）極大值為H（1）=m-7；H（x）極小值為H（3）=m+6ln3-15
又因為當x→0時，H（x）→-∞；當x→+∞時，H（x）→+∞
所以要使?（x）=0有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

H(1)=0 H (3)＜0

或

H(3)=0 H(1)＞0

即

m-7=0 m+6ln3-15＜0

或

m+6ln3-15=0 m-7＞0

，∴m=7或m=15-6ln3．
∴當m=7或m=15-6ln3．時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點

點評：本題綜合考查了二次函數的圖象和性質、定積分的幾何意義、導數與函數零點等多個知識點，解題時要綜合掌握各種知識，熟練運用數形結合、分類討論思想解決問題