Question

如圖所示，在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OA=OS=AB=1，OC=2，點M是棱SB的中點，N是OC上的點，且ON：NC=1：3．
（1）求異面直線MN與BC所成的角；
（2）求MN與面SAB所成的角．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，再求相關向量的坐標，最后用向量夾角公式求解．
（2）欲求MN與面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系數法求出平面SAB的一個法向量，最后用向量夾角公式求解即可

解答：解：（1）以OC，OA，OS所在直線建立空間直角坐標系O-xyz，則S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），所以N（

1

2

，0，0），M（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

MN

=（0，-

1

2

，-

1

2

），

BC

=（1，-1，0）
∴直線MN與BC所成角的余弦值為

MN • BC

| BC || MN |

=

1

2

∴直線MN與BC所成角為

π

3

；
（2）設平面SAB的一個法向量為

n

=（a，b，c）

n

•

SB

=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0

n

•

SA

=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量

n

=（0，1，1）
∵

MN

=（0，-

1

2

，-

1

2

），
∴直線MN與面SAB所成角的正弦值為|

MN • n

| MN || n |

|=

1

2

∴直線MN與面SAB所成角為

π

6

點評：本題考查用向量法研究直線與平面所成的角和異面直線所成的角，選用向量法，避開了作輔助線，優越性很強，屬于中檔題．