Question

（2012•大連二模）已知向量

a

，

b

滿足

a

=（-2sinx，

3

cosx+

3

sinx），

b

=（cosx，cosx-sinx），函數，f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
（I）將f（x）化成Asin（（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π的形式；
（Ⅱ）已知數列an=

n

2

f(

nπ

2

-

11π

24

)(n∈N*)，求{a_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積的坐標運算公式，結合三角恒等變換公式化簡整理，即可得到f(x)=2sin(2x+

2π

3

)；
（II）由（I）的結論，得an=2n2sin(nπ-

π

4

)，根據三角函數的周期，可得n為奇數時sin（nπ-

π

4

）=

2

2

；n為偶數時sin（nπ-

π

4

）=-

2

2

，因此S_2n=

2

[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2]，結合等差數列的通項與求和公式，即可算出S_2n的表達式．

解答：解（Ⅰ）∵

a

=（-2sinx，

3

cosx+

3

sinx），

b

=（cosx，cosx-sinx），
∴f(x)=

a

•

b

=-2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）
=-sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

2π

3

)…（4分）
（Ⅱ）an=n2f(

nπ

2

-

11π

24

)=2n2sin(nπ-

π

4

)…（6分）
∵t=sin（nπ-

π

4

）的最小正周期為T=

2π

π

=2
∴n為奇數時，t=sin（nπ-

π

4

）=

2

2

；n為偶數時t=sin（nπ-

π

4

）=-

2

2

因此，
S2n=

2

[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2]…（8分）
又（2n-1）²-（2n）²=-4n+1…（10分）
所以S2n=2[12×(

2

2

)+22×(-

2

2

)+32×(

2

2

)+42×(-

2

2

)+…+(2n)2×(-

2

2

)]
=

2

[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2]
=

2

[-1-2-3-4-…-(2n-1)-2n]
=

2

×

2n(-1-2n)

2

=-

2

n-2

2

n2…（12分）

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標，求函數f（x）的表達式并依此求數列的前n項之和．著重考查了三角恒等變換、等差數列的通項與求和等知識，屬于基礎題．