Question

（2011•雙流縣三模）已知函數f（x）=x³-3x及y=f（x）上一點P（1，-2），過點P作直線l．
（1）求使直線l和y=f（x）相切且以P為切點的直線方程；
（2）求使直線l和y=f（x）相切且切點異于P的直線方程y=g（x）；
（3）在（2）的條件下，求F（x）=f（x）+tg（x）（t為常數）在[2，+∞）上單調時，t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得斜率函數為f′（x）=3x²-3，進而求出所過點切線的斜率，代入點斜式公式即可．
（2）設另一切點為（x₀，y₀），求出該點切線方程，再由條件列方程計算．
（3）由（2）得g（x）=-

9

4

x+

1

4

，則F（x）=x³-3x+t（-

9

4

x+

1

4

），求其導數，再分類討論：當

9

4

t+3≤0時，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函數；當

9

4

t+3＞0時，求得當t≤4時，F（x）在[2，+∞）上是增函數，從而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
過點P且以P（1，-2）為切點的直線的斜率f′（1）=0，
∴所求直線方程為y=-2．
（2）設過P（1，-2）的直線l與y=f（x）切于另一點（x₀，y₀），
則f′（x₀）=3x₀²-3．
又直線過（x₀，y₀），P（1，-2），
故其斜率可表示為

y0-(-2)

x0-1

=

x03-3x0+2

x0-1

，
又

x03-3x0+2

x0-1

=3x₀²-3，
即x₀³-3x₀+2=3（x₀²-1）•（x₀-1），
解得x₀=1（舍）或x₀=-

1

2

，
故所求直線的斜率為k=3×（

1

4

-1）=-

9

4

，
∴y-（-2）=-

9

4

（x-1），
即9x+4y-1=0．
（3）由（2）得g（x）=-

9

4

x+

1

4

，則F（x）=x³-3x+t（-

9

4

x+

1

4

），
∴F′（x）=3x³-（

9

4

t+3），
當

9

4

t+3≤0時，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函數；
當

9

4

t+3＞0時，由F′（x）=0得極值點：x₁=-

3 4 t+1

，x₂=

3 4 t+1

，
在

3 4 t+1

≤2，即

3

4

t+1≤4，即t≤4時，F（x）在[2，+∞）上是增函數，
∴t的取值范圍：t≤4．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程′、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．