Question

設函數f(x)＝－x³＋x²＋(m²－1)x(x∈R)，其中m>0.

(1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))點處的切線的方程；

(2)求函數f(x)的單調區間與極值；

(3)已知函數g(x)＝f(x)＋有三個互不相同的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解析　(1)當m＝1時，f(x)＝－x³＋x²，f′(x)＝－x²＋2x，故f′(1)＝1.

所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為1.

切線方程為3x－3y－1＝0.

(2)f′(x)＝－x²＋2x＋m²－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m.

因為m>0，所以1＋m>1－m.

當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，1－m)	1－m	(1－m,1＋m)	1＋m	(1＋m，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)		極小值		極大值	

f′(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)內減函數，在(1－m，1＋m)內增函數．

函數f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m³＋m²－.

函數f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，

且f(1－m)＝－m³＋m²－.

(3)由(2)知，

函數g(x)在x＝1＋m處取得極大值g(1＋m)＝f(1＋m)＋，

且g(1＋m)＝m³＋m².

函數g(x)在x＝1－m處取得極小值g(1－m)＝f(1－m)＋，

且g(1－m)＝－m³＋m².

根據三次函數的圖像與性質，函數g(x)＝f(x)＋有三個互不相同的零點，只需要

所以m的取值范圍是.