Question

已知f（x）=2cos²

wx

2

+

3

sinwx+a的圖象上相鄰兩對稱軸的距離為

π

2

．
（1）若x∈R，求f（x）的遞增區間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

，得到周期為π，進而求出w的值，確定出函數解析式，
（1）由正弦函數的遞增區間[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的遞增區間；
（2）由確定出的函數解析式，根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出函數的最大值，即可得到a的值．

解答：解：已知f（x）=

3

sinwx+coswx+a+1=2sin（wx+

π

6

）+a+1
由

T

2

=

π

2

，則T=π=

2π

w

，∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
則-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
故f（x）的增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f_max（x）=2+a+1=4，∴a=1．

點評：此題考查了兩角和的正弦函數公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．