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如圖，在雙曲線-=1的上支上有三點A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它們與點F(0,5)的距離成等差數列.

(1)求y1+y3的值；

(2)證明線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求此點坐標.

(1)解：c==5,故F為雙曲線的焦點，設準線為l,離心率為e，由題設有

    2|FB|=|FA|+|FC|.                                               ①

    分別過A、B、C作x軸的垂線AA2、BB2、CC2,交l于A1、B1、C1,則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB1|,|FA|=e|AA1|,|FC|=e|CC1|,代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|,

    即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.

    于是兩邊均加上準線與x軸距離的2倍，有2|BB2|=|AA2|+|CC2|,

    此即2×6=y1+y3,可見y1+y3=12.

(2)證明：AC的中垂線方程為

    y-=-(x-),

    即y-6=-x+.                           ②

    由于A、C均在雙曲線上，

    所以有-=1,-=1.

    相減得=.于是有=(y1+y3)=·12=13,

    故②變為y=-x+,易知此直線過定點D(0,).

講評：利用第二定義得焦半徑，可使問題容易解決.中垂線過弦AC的中點，中點問題往往把A、C的坐標代入方程，兩式相減、變形，即可解決問題.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在雙曲線
y2
12
-
x2
13
=1的上支上有三點A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它們與點F（0，5）的距離成等差數列．
（1）求y1+y3的值；
（2）證明：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求此點坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）建立適當的平面直角坐標系，求雙曲線C的方程；
（2）設過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若△OEF的面積不小于2
2
，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在雙曲線數學公式-數學公式=1的上支上有三點A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它們與點F（0，5）的距離成等差數列．
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科目：高中數學 來源：2006年高考第一輪復習數學：8.2 雙曲線（解析版） 題型：解答題

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（1）求y1+y3的值；
（2）證明：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求此點坐標．

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