Question

等差數列{a_n}的各項為正，其前n項和為S_n，且S₃=9，又a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：當n≥2時，++…+＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵S₃=9，∴a₂=3，
∴a₁+2=3-d+2=5-d，
a₂+3=6，a₃+7=3+d+7=10+d，
∵a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
a_n=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵=
＜==，
∴當n≥2時，++…+
＜1+
=1+＜1+=．
分析：（Ⅰ）由S₃=9，得a₂=3，由a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數列，解得d=2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由=＜=，利用裂項求和法能夠證明當n≥2時，++…+＜．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．