Question

已知二次函數f（x）=x²+bx+1（b∈R），滿足f（-1）=f（3）．
（1）求b的值；
（2）當x＞1時，求f（x）的反函數f^-1（x）；
（3）對于（2）中的f^-1（x），如果f-1(x)＞m(m-

x

)在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次函數f（x）=x²+bx+1（b∈R）和f（-1）=f（3），解出b．
（2）由函數解析式解出自變量x，再把自變量和函數交換位置，即可得到反函數的解析式，
然后注明反函數的定義域（即原函數的值域）．
（3）問題轉化為（m+1）

x

＞（m+1）（m-1） 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，分類討論，
當m＞-1時，有

x

＞m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，有

x

在此區間上的最小值大于m-1，
當m＜-1時，有

x

＜m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，有

x

在此區間上的最大值小于m-1，
當m=-1時，不滿足條件．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=x²+bx+1（b∈R），滿足f（-1）=f（3），
∴1-b+1=9+3b+1，∴b=-2．
（2）∵f（x）=x²-2x  +1=（x-1）²，圖象關于x=1對稱，
∴當x＞1時，x-1=

f(x)

，∴f（x）的反函數f^-1（x）=

x

+1 （x≥0）．
（3）由題意知，

x

+1＞m（m-

x

）在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
即（m+1）

x

＞（m+1）（m-1） 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
 ①當m＞-1時，有

x

＞m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
∴

1

2

＞m-1，即 m＜

3

2

，
∴-1＜m＜

3

2

，
②當m＜-1時，有

x

＜m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
∴

2

2

＜m-1，即 m＞1+

2

2

（舍去）
③m=-1時，不滿足條件．
綜上，實數m的取值范圍是-1＜m＜

3

2

．

點評：本題考查求函數的解析式、求一個函數的反函數的方法，以及函數的恒成立問題，體現分類討論和等價轉化的數學思想．