Question

設f(x)=a

x

-lnx（a＞0）
（1）若f（x）在[1，+∞）上遞增，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[2，4]上的存在單調遞減區間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在[1，+∞）上遞增，可得f′（x）≥0恒成立，從而轉化為恒成立問題解決．
（2）f（x）在[2，4]上存在單調遞減區間即為f′（x）＜0在x∈[2，4]上有解，從而可得a的范圍．

解答：解：f′(x)=

a x -2

2x

，
（1）因為f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f′（x）≥0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

2

x

恒成立，又x∈[1，+∞）時，

2

x

≤2，∴a≥2．
故a的取值范圍是[2，+∞）．
（2）若f（x）在[2，4]上存在單調遞減區間，則f′（x）＜0在x∈[2，4]上有解，即a＜

2

x

有解，
而x∈[2，4]時，1≤

2

x

≤

2

，∴0＜a＜

2

．
故a的取值范圍為（0，

2

）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，注意f′（x）≥0是可導函數f（x）單調遞增的充要條件．