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若函數y=f（x）既是一次函數，又是奇函數，在（-∞，+∞）上又是增函數，且有f[f（x）]=4x，求函數y=f（x）的解析式．
分析：根據函數類型利用待定系數法進行求解，然后根據奇偶性和單調性求出參數即可．
解答：解：∵函數y=f（x）是一次函數，
∴可設f（x）=ax+b（a≠0），…（2分）
∵函數y=f（x）是奇函數，
∴f（0）=0∴b=0…（4分）
（或f（-x）=-f（x），
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0）
∴f（x）=ax，（a≠0）…（5分）
則f[f（x）]=a（ax）=a2x，…（8分）
∵f[f（x）]=4x，
∴a2=4，
解得a=2或a=-2，…（10分）
又f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，
∴f（x）=2x…（12分）
點評：本題主要考查了函數解析式的求解及常用方法，以及函數的單調性和奇偶性，同時考查了計算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

7、若函數y=f（x）是定義在R上的可導函數，則f′（x0）=0是x0為函數y=f（x）的極值點的（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x|x-2a|，a∈R．
（1）當a=1時，解方程f（x）=0；
（2）當0＜a＜3時，求函數y=f（x）在區間[0，7]的最大值g（a）；
（3）若函數y=f（x）在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數y=f′（x）是函數y=f（x）的導函數，則f′（x）＞0是函數f（x）為增函數的（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數y=f （x） （f （x）不恒為零）的圖象與函數y=-f （x）的圖象關于原點對稱，則函數y=f （x）（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

給定四個命題：
①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，則方程f（x）=0在（1，3）內有唯一的實數根．
②若f（x）在其定義域內可導，且導函數f'（x）是奇函數，則f（x）是偶函數．
③若函數f（x）在[1，4]上連續，則f（x）在[1，4]上必有最大值與最小值．
④若函數y=f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，又關于點B（3，0）對稱，那么f（x）為周期函數．
其中真命題的序號是
 
．

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