Question

已知數列{b_n}中，b1=

11

7

，bn+1=1+

2

bn

，數列{a_n}滿足：an=

1

bn-2

(n∈N*)．
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）求數列{a_n}的通項公式；
（4）求證：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）根據b1=

11

7

，求得a1=-

7

3

，從而b2=

25

11

a2=

11

3

；
（2）將bn+1=1+

2

bn

代入得到：an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2 bn -2

=

bn

2-bn

=-2an-1即可證得：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）由（2）所得結論變形得到：an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)從而得出數列{an+

1

3

}是以-2為首項，公比為-2的等比數列，最后利用等比數列的通項公式即可求出數列{a_n}的通項公式；
（4）由（3）得出數列{a_n}的通項公式寫出數列bn，下面對n進行奇偶數討論：①當n為偶數時②當n為奇數時，分別利用等比數列的前n項結合不等式的放縮即可得到證明．

解答：解：（1）∵b1=

11

7

∴a1=-

7

3

∴b2=

25

11

a2=

11

3

…（3分）
（2）證明：∵an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2 bn -2

=

bn

2-bn

=-2an-1∴a_n+1+2a_n+1=0…（5分）
（3）∵a_n+1=-2a_n-1∴an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)…（6分）
又 a1+

1

3

=-2 ≠0∴數列{an+

1

3

}是以-2為首項，公比為-2的等比數列…（7分）
∴an+

1

3

=(-2)n∴an=(-2)n-

1

3

…（8分）
（4）bn=

1

an

+2=

1

(-2)n- 1 3

+2∴(-1)nbn=2•(-1)n+

1

2n- 1 3 •(-1)n

當n為奇數時（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1=

1

2n+ 1 3

+

1

2n+1- 1 3

=

2n+2n+1

(2n+ 1 3 )(2n+1- 1 3 )

＜

2n+2n+1

2n•2n+1

=

1

2n

+

1

2n+1

，
①當n為偶數時，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

＜

1 2

1- 1 2

=1，
②當n為奇數時，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

-2+

1

2n+ 1 3

＜

1 2

1- 1 2

-2+

1

2n+ 1 3

=

1

2n+ 1 3

-1＜1…（11分）
綜上所述：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1…（12分）

點評：本小題主要考查數列遞推式、數列與不等式的綜合、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．