Question

如圖，，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，，分別是，的中點，．
（1）證明：；
（2）證明：；
（3）假設這是個大容器，有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋，如果魚游到四棱錐 內會有被捕的危險，求魚被捕的概率.

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）由于點E是A₁C是的中點，點O是BC的中點，連接OE，OA，由三角形的中位線可得OE∥BB₁，并且OE=.又∥,并且.所以EO與DA平行且相等.所以四邊形EOAD是平行四邊形.所以DE∥AO.即可得到結論.
（2）由是母線，所以平面ABC.所以可得,又BC是圓得直徑，所以.由此可得結論.
（3）由，即可得到面.即.所以.設圓的半徑為r，圓柱的高為h，所以.圓柱的體積為.所以魚被捕的概率為.
（1）證明：連結，，分別為的中點，∴．
又，且.∴四邊形是平行四邊形，
即．∴．       4分
（2） 證明：，為圓柱的母線，所以
因為垂直于圓所在平面，故，
又是底面圓的直徑，所以，，所以，
由，所以.  8分
（3）解：魚被捕的概率等于四棱錐與圓柱的體積比，
由，且由（1）知.∴，
∴ ，∴．
因是底面圓的直徑，得，且，
∴，即為四棱錐的高．設圓柱高為，底半徑為，
則，，
∴：，即 .    12分