Question

（2012•開封一模）已知函數h（x）=ln（ax+b）在點M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）先對函數求導，然后由導數的幾何意義可知

a

a+b

=

1

2

，h（1）=ln（a+b）=ln2，代入可求a，b
（II）先求函數的定義域為（-1，+∞），f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

=ln2(1+x)-

x2

1+x

，對函數求導可得f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，構造函數g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，二次求導，通過導數可得函數g（x）的單調性，進而可得當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜g（0）=0，從而可判斷函數f（x）的單調區間

解答：解（I）∵h（x）=ln（ax+b）
∴h′(x)=

a

ax+b

∵在點M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0
∴

a

a+b

=

1

2

∵h（1）=ln2即ln（a+b）=ln2
∴a=b=1（4分）
（II）函數的定義域為（-1，+∞），f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

=ln2(1+x)-

x2

1+x

∴f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

設g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則φ′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

當-1＜x＜0時，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上單調遞增
當x＞0時，φ′（x）＜0，，φ（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴，φ（x）在x=0處取得極大值，而，φ（0）=3，
∴g′（x）＜0（x≠0）
∴g（x）在（-1，+∞）上單調遞減
于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜g（0）=0
∴當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上單調遞增
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減
故函數f（x）的遞增區間（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）（12分）

點評：本題主要考察了導數的幾何意義的應用，及利用導數求解函數的單調區間，注意本題中利用構造函數二次求導方法的應用．