Question

f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且f（-1）=0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為（　　）

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：構造函數h（x）=f（x）g（x），由已知得到當x＜0時，h′（x）＜0，所以函數y=h（x）在（-∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，得到函數y=h（x）為R上的奇函數，得到函數y=h（x）在（0，+∞）單調遞減，畫出函數h（x）的草圖，結合圖象得到不等式的解集．

解答：解：設h（x）=f（x）g（x），
因為當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以當x＜0時，h′（x）＜0，
所以函數y=h（x）在（-∞，0）單調遞減，
又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，
所以函數y=h（x）為R上的奇函數，
所以函數y=h（x）在（0，+∞）單調遞減，
因為f（-1）=0，
所以函數y=h（x）的大致圖象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選A．

點評：本題考查導數的乘法法則、導數的符號與函數單調性的關系；奇函數的單調性在對稱區(qū)間上一致，屬于基礎題．