Question

將圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍，得到曲線．設直線與曲線相交于、兩點，且，其中是曲線與軸正半軸的交點．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）證明：直線的縱截距為定值．

Answer 1

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（Ⅰ）設所求曲線上的任一點坐標為，圓上的對應點的坐標為，由題意可得，                                     
，，即 
曲線的方程為．                                  
（Ⅱ），顯然直線與軸不垂直，設直線，與橢圓:相交于，
由 得，              
，                            ，，
即：
，
，
整理得：，             
即，
，，
展開得：，，
直線的縱截距為定值．