Question

已知數列{an}的首項a1＝2a＋1(a是常數，且a≠－1)，

an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，數列{bn}的首項b1＝a，

bn＝an＋n2(n≥2)．

(1)證明：{bn}從第2項起是以2為公比的等比數列；

(2)設Sn為數列{bn}的前n項和，且{Sn}是等比數列，求實數a的值；

(3)當a>0時，求數列{an}的最小項．

 

Answer 1

（1）見解析（2）a＝－（3）當a∈時，最小項為8a－1；當a＝時，最小項為4a或8a－1；當a∈時，最小項為4a；當a＝時，最小項為4a或2a＋1；

當a∈時，最小項為2a＋1.

【解析】(1)證明：∵bn＝an＋n2，∴bn＋1＝an＋1＋(n＋1)2＝2an＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n＋1)2＝2an＋2n2＝2bn(n≥2)．

由a1＝2a＋1，得a2＝4a，b2＝a2＋4＝4a＋4，∵a≠－1，

∴b2≠0，即{bn}從第2項起是以2為公比的等比數列．

(2)【解析】
由(1)知bn＝

Sn＝a＋＝－3a－4＋(2a＋2)2n，當n≥2時，

＝.

∵{Sn}是等比數列，∴ (n≥2)是常數，∴3a＋4＝0，即a＝－.

(3)【解析】
由(1)知當n≥2時，bn＝(4a＋4)2n－2＝(a＋1)2n，

∴an＝

∴數列{an}為2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…

顯然最小項是前三項中的一項．

當a∈時，最小項為8a－1；當a＝時，最小項為4a或8a－1；

當a∈時，最小項為4a；當a＝時，最小項為4a或2a＋1；

當a∈時，最小項為2a＋1.