Question

設和是函數的兩個極值點，其中，．

(Ⅰ) 求的取值范圍；

(Ⅱ) 若，求的最大值（e是自然對數的底數）．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的取值范圍是．(Ⅱ) 的最大值是．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)函數的定義域為，．因為和是函數的兩個極值點，所以、就是方程有兩個不等的正根（其中）．由此可求得的范圍故，并且可找到、與之間的關系，從而可以用表示出來，這樣根據的范圍便可求出 的范圍.

(Ⅱ) 首先是怎樣的一個式子？

.

.這個式子中的都是變量，能否變成一個？

由題設可得，這樣，由此可令，從而

.接下來就根據的范圍求出的范圍，進而求出 的范圍．

試題解析：(Ⅰ)函數的定義域為，．  1分

依題意，方程有兩個不等的正根，（其中）．故

，              3分

并且 ．

    所以，

    故的取值范圍是．               6分

(Ⅱ)解:當時，．若設，則

．

于是有

構造函數（其中），則．

所以在上單調遞減，．

故的最大值是．                  14分

考點：1、導數的應用；2、不等關系.