Question

已知A、B是單位圓O上的動點，且A、B分別在第一、二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點，△AOB為等腰直角三角形，記∠AOC=α．
（1）求A點的坐標為（

3

5

，

4

5

），求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值；
（2）求|BC|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A的坐標求出tanα的值，然后把所求式子的分子第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，分母第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，然后分子分母同時除以cos²α，利用同角三角函數間的基本關系化為關于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值；
（2）由A和B都為單位圓上的點，且C為單位圓與x軸的交點，根據∠AOC=α，且三角形AOB為等腰直角三角形，分別表示出A，B及C的坐標，利用兩點間的距離公式表示出|BC|，利用誘導公式及同角三角函數間的基本關系把被開方數化簡后，根據A為第一象限的點得出α的范圍，進而得出sinα的范圍，即可得出|BC|的范圍．

解答：解：（1）由已知可得：tanα=

y

x

=

4 5

3 5

=

4

3

，（2分）
則

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

cos2α +cos2α-sin2α

（4分）
=

tan2α+2tanα

2-tan2α

（6分）
=

( 4 3 )2+2× 4 3

2-( 4 3 )2

=20；

（2）根據題意得：A=（cosα，sinα），B=（cos（α+

π

2

），sin（α+

π

2

）），且C（1，0），
∴|BC|=

[cos(α+ π 2 )-1]2+sin2(α+ π 2 )

=

2+2sinα

，（8分）
∵A，B分別在第一、第二象限，且α∈（0，

π

2

），
∴sinα∈（0，1），
∴|BC|的范圍是（

2

，2）．（12分）

點評：此題考查了三角函數的化簡求值，以及正弦函數的值域，涉及的知識有三角函數的定義，二倍角的正弦、余弦函數公式，誘導公式，以及同角三角函數間的基本關系，根據題意表示出三點的坐標是解第二小問的關鍵．