Question

某水產養殖場擬造一個無蓋的長方體水產養殖網箱，為了避免混養，箱中要安裝一些篩網，其平面圖如下，如果網箱四周網衣（圖中實線部分）建造單價為每米56元，篩網（圖中虛線部分）的建造單價為每米48元，網箱底面面積為160平方米，建造單價為每平方米50元，網衣及篩網的厚度忽略不計.
（1）把建造網箱的總造價y（元）表示為網箱的長x（米）的函數，并求出最低造價；
（2）若要求網箱的長不超過15米，寬不超過12米，則當網箱的長和寬各為多少米時，可使總造價最低？（結果精確到0.01米）

Answer 1

（1），最低為13120元，（2）網箱長為15m，寬為10.67m時，可使總造價最低

試題分析：（1）建造網箱的總造價為網箱四周網衣建造總造價與篩網建造總造價之和. 網箱的長x，則 網箱的寬為，所以.當時，，當且僅當時取等號，此時（2）因為網箱的長不超過15米，寬不超過12米，所以（1）中等號不成立.需從單調性上考慮最值. 因為，所以在上單調遞減，而時，y最小，此時寬=.
⑴網箱的寬為，
    4分
當時，，當且僅當時取
此時
網箱的長為16m時，總造價最低為13120元                 8分
⑵由題意                        10分
此時，在上單調遞減，而時，y最小，此時寬=.
網箱長為15m，寬為10.67m時，可使總造價最低                  16分