Question

過橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A||F₂B||F₂C|成等差數列，則弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍是（　　）

• A．(0，

  16

  5

  )
• B．(0，

  16

  25

  )
• C．(-

  16

  5

  ，

  16

  5

  )
• D．(-

  16

  25

  ，

  16

  25

  )

Answer 1

分析：使用焦半徑公式求得x₁+x₂的值，可以設AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達定理；也可以用“點差法”：記AC中點M（4，y₀），將A、C兩點的坐標代入橢圓方程后作差，求得AC的斜率表達式，表示出AC的中垂線方程，把x=0代入求得AC的中垂線在y軸上的截距，根據M在圓內求得y₀的范圍，進而求得

16y0

9

的范圍即弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍．

解答：解：對|F₂A|+|F₂C|=

18

5

使用焦半徑公式得：5-

4

5

x₁+5-

4

5

x₂=

18

5

⇒x₁+x₂=8．
此后，可以設AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達定理；也可以用“點差”：記AC中點M（4，y₀），將A、C兩點的坐標代入橢圓方程后作差得：
⇒

y1-y2

x1-x2

=-

9

25

•

x1+x2

y1+y2

，
∴k_AC=-

9

25

•

4

y0

，
于是有：AC的中垂線的方程為：
y-y₀=

25y0

36

（x-4），
當x=0時：y=-

16y0

9

，此即AC的中垂線在y軸上的截距，
∵M（4，y₀）在橢圓“內”，
∴

16

25

+

y 2 0

9

＜1，
得-

9

5

＜y₀＜

9

5

，
∴-

16

5

＜-

16y0

9

＜

16

5

．
故選：C．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的位置關系的綜合．當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．