Question

在平面直角坐標系中，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列（整點即橫縱坐標都是整數的點）：與：，其中，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同；②線段，其中，則稱與互為正交點列.
（1）求：的正交點列；
（2）判斷：是否存在正交點列？并說明理由；
（3）N，是否都存在無正交點列的有序整點列？并證明你的結論.

Answer 1

（1），（2）不存在，（3）存在.

試題分析：（1）因為與的起點和終點分別相同，所以，只需求.由及，可解得本題實質考查對新定義的理解.關鍵逐條代入驗證.（2）與（1）相似，從求角度出發，能求出來就存在，否則就不存在.首先有求時，不是設四個未知數，二是利用向量垂直關系，設三個未知數，即，因為相同，所以有因為，所以方程組顯然不成立，即不存在.
（3）按照（1）的思路，要保證方程組無解，須使得整數盡量取，①當為偶數時，取.②當為奇數時，取,,就可滿足題意.
試題解析：解：
（1）設點列的正交點列是,
由正交點列的定義可知,設，
，，
由正交點列的定義可知,,
即解得
所以點列的正交點列是.   3分
（2）由題可得，
設點列是點列的正交點列，
則可設,
因為相同，所以有

因為，方程（2）顯然不成立，
所以有序整點列不存在正交點列；       8分
（3），都存在整點列無正交點列.           9分
，設其中是一對互質整數，
若有序整點列是點列正交點列,
則，
則有
①當為偶數時，取.
由于是整點列，所以有，.
等式（2）中左邊是3的倍數，右邊等于1，等式不成立，
所以該點列無正交點列；
②當為奇數時，
取,,
由于是整點列，所以有，.
等式（2）中左邊是3的倍數，右邊等于1，等式不成立，
所以該點列無正交點列.
綜上所述，，都不存在無正交點列的有序整數點列     13分