Question

設, 已知函數 
(Ⅰ) 證明在區間(－1,1)內單調遞減, 在區間(1, + ∞)內單調遞增;
(Ⅱ) 設曲線在點處的切線相互平行, 且 證明.

Answer 1

見解析

(Ⅰ)證明：設函數，，
①，因為，所以當時，，
所以函數在區間（-1，0）內單調遞減；
②，因為，所以當時，
；當時，，即函數在區間（0，1）內單調遞減，在區間內單調遞增.
綜合①②及，可知函數在區間(－1,1)內單調遞減, 在區間(1, + ∞)內單調遞增.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知，在區間內單調遞減，在區間內單調遞減，在區間
內單調遞增.因為曲線在點處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設，
由==，可得，
解得，從而，
設，則，
由=，解得，所以，
設，則，因為，所以，
故=，即.
本題第（Ⅰ）問，可以分兩段來證明,都是通過導數的正負來判斷單調性；第(Ⅱ)問，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構造函數解決.判斷分段函數的單調性時,要分段判斷;證明不等式時,一般構造函數解決.
【考點定位】本小題主要考查導數的運算及其幾何意義，利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想、化歸思想、函數思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.